Polis teşkilatında görev yaptı. Futbol oynarken de mesleğinden ayrılmadı. Alman Ligi Bundesliga’da sırayla VFL Bochum, Bayer Uerdingen, FC Kaiserslautern ve Arminia Bielefeld takımlarında forma giydi. 1983 ve 1999 yılları arasında oynadığı Bundesliga’da toplam 449 maçta attığı 179 golle bu ligde en çok gol atan 6. futbolcu oldu.

1991 yılında Almanya’da Kaiserslautern formasıyla yılın futbolcusu seçilen Kuntz, 1986 ve 1994 yıllarında iki kez olmak üzere Bundesliga’da gol krallığına ulaştı. 1994 Dünya Kupası ve 1996 yılında oynanan Euro 96’da Alman Milli Futbol Takımı kadrosunda yer aldı. Milli Takım forması altında oynadığı 25 maçta 6 gol kaydetti. 1995-96 sezonunda vatandaşı Christoph Daum’un isteği üzerine Beşiktaşımız’a transfer oldu. Siyah-beyaz formayla, ligdeki ilk golünü 24 Eylül 1995’de Beşiktaşımız’ın 5-2 kazandığı maçta İstanbulspor filelerine gönderdi.

Stefan Kuntz, yüreğini ortaya koyan oyun şekli ve hırsıyla birkaç maç sonra Beşiktaşlı taraftarların gözdesi oldu. Ligde 30 maçta forma giyen ve 9 gol atan Kuntz, Şampiyonlar Ligi maçlarında da 2 gol kaydetti. Ülkesinde de çok sevilen bir futbolcu olan Kuntz, Beşiktaşımız’da oynadığı dönemde Alman hayranlarınca İnönü Stadı’nda da takip edildi ve izlendi.